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計算機論文:基于Hadamard門變異的量子遺傳算法

來源:未知 2020-07-23 09:38

摘要:

  為了解決量子遺傳算法在函數優化過程中容易陷入局部極值問題,提出了一種Hadamard門變異的量子遺傳算法,核心思想是利用小生境協同進化策略初始化種群,并采用動態調整量子旋轉門

  計算機論文:基于Hadamard門變異的量子遺傳算法

  摘 要:為了解決量子遺傳算法在函數優化過程中容易陷入局部極值問題,提出了一種Hadamard門變異的量子遺傳算法,核心思想是利用小生境協同進化策略初始化種群,并采用動態調整量子旋轉門策略對種群進行更新進化,加快算法的收斂速度,在量子變異過程中不采用量子非門變異而是利用Hadamard門變異操作,增加了種群的多樣性,提高了全局搜索能力,保留了優秀信息。通過對典型復雜函數的優化測試,實驗結果表明,提出的Hadamard門變異的量子遺傳算法在效率和質量上與傳統遺傳算法和一般的量子遺傳算法相比具有一定的優勢。

  關鍵詞:遺傳算法;量子旋轉門;Hadamard門;量子遺傳算法;小生境協同進化策略

  中圖分類號:TP18 文獻標識碼:A

  1 引 言

  量子遺傳算法[1-3](Quantum Genetic Algorithm,QGA)是融合了遺傳算法和量子計算的一種概率優化算法,興起于20世紀90年代后期并引起廣泛的關注。量子計算是量子力學和計算科學結合的產物,具有經典算法不具有的量子超并行能力,能夠對某些重要的經典算法進行加速[4]。利用量子計算理論中的疊加態、糾纏態以及相干性等特性,是量子遺傳算法與其他優化算法的最大不同之處,利用量子計算中的量子旋轉門理論來實現更新進化操作并且用量子比特編碼來表示染色體。

  量子遺傳算法第一次被提出是在1996年,Narayanan[5]等人在遺傳算法中引入了量子理論中的多宇宙概念,但是由于算法中沒有涉及到量子態的更新進化,所以并不是真正意義上的量子遺傳算法。2002年,Han[6]等人提出將量子理論中的量子比特和量子旋轉門的概念引入了遺傳算法中,提出了真正意義上的量子遺傳算法。

  把常規的二進制編碼用量子比特編碼代替是量子遺傳算法的一大特點[7]。在解決優化問題上,文獻[8]利用自適應調整搜索網格的策略和量子比特相位比較的方法對量子遺傳算法進行調整,并用典型連續函數進行了測試,得到了很好的優化效果;文獻[9-10]將小生境技術引入了量子遺傳算法中,提高了算法的效率收斂效果;文獻[11]中提出了一種新的尋優策略,將搜索空間擴展到3Bloch球面,通過測試函數證明改進算法提高了種群的多樣性和算法的搜索能力;文獻[12]將聚類和量子遺傳算法相結合提出了一種混合算法,使用聚類選擇小部分非冗余代表基因并應用量子遺傳算法來確定,還提出了一種新的適應度函數,以減少不犧牲分類精度的基因的數目,該算法降低了高維微陣列數據的量子遺傳算法的計算時間。同時,量子遺傳算法在模糊控制和人工智能[13]方面的優化也有很明顯的效果。本文基于對量子遺傳算法的分析,提出了Hadamard門變異操作來代替原有的量子非門變異操作。本文中的HQGA的算法思想是在種群初始化過程中使用小生境協同進化策略,采用動態調整量子旋轉門策略更新進化種群,并且在量子變異操作時利用Hadamard門變異,提高了算法的收斂速度、尋優和全局搜索能力。

  2 量子遺傳算法

  量子遺傳算法的關鍵是量子旋轉門和量子比特編碼的使用。在量子遺傳算法中,染色體編碼用量子比特的幾率幅表示,利用量子旋轉門策略在進化過程中使所有個體向最優解靠近,避免退化保證了進化方向,從而達到目標的優化求解的目的。

  2.1 量子比特編碼

  在經典量子計算理論中,充當信息存儲單元的物理介質是量子比特(qubit),分別用兩個量子態即本征態和來表示,然后與經典位的0和1對應編碼。量子遺傳算法中與傳統算法的最大不同之處在于,染色體的基因是用兩個量子比特的狀態表示,即一個量子比特可以表示“0”態或“1”態,還可以表示兩種狀態的任意疊加態,是一個線性組合的形式。這樣該染色體就包含了所求問題的所有可能得信息,而不是再只表示某一個確定的信息。

  一個量子比特編碼可以表示為:

  (1)

  其中,和是概率福,表示對應的量子比特,是一對復數。量子比特處于態的概率表示為,量子比特處于態的概率表示為。

  假設一條染色體具有個量子比特,其表示形式為:

  (2)

  其中,表示第代第個染色體,表示為染色體的基因數,為種群大小。

  2.2 量子旋轉門調整

  與傳統遺傳算法不同,量子遺傳算法并沒有采用選擇、交叉和變異等操作,而是利用量子理論中特有的量子門調整策略來實現種群的更新進化。量子遺傳算法是通過量子門的旋轉調整改變量子態概率來保持種群的多樣性,其核心思想是使當前解收斂到一個具有更高適應度的個體,在量子遺傳算法中利用量子旋轉門調整策略的更新進化操作就顯得非常的重要,其公式如下:

  (3)

  其中,表示的是當前染色體的第個基因,表示的是當前染色體經過旋轉門更新后的新基因。但是傳統的量子旋轉門調整策略的角度取值是固定的,這會給算法造成一定的局限性,如果旋轉角的幅度太小,影響算法的收斂速度;相反,如果旋轉角的幅度太大,則會導致算法出現過早成熟。針對這一問題,設計了一種動態調整旋轉角的策略,如下[14]:

  (4)

  其中,的取值區間為,區間是的最小值用表示,區間上的最大值用表示。

  (5)

  其中,搜索到的最優個體適應度用來表示,當前個體的適應度用表示。

  3 基于Hadamard門變異的量子遺傳算法

  3.1 小生境協同進化策略

  由于小生境協同進化策略可以有效地解決多峰優化問題,在許多優化算法中都有廣泛的應用。本文的算法將基于概率劃分的小生境協同進化策略引入了種群初始化進程,其主要核心思想是將量子位劃分成N個概率空間,通過式(6)對概率空間進行劃分,使每個子種群在初始化時具有相同概率。

  (6)

  其中,公式(6)表示N個種群中第個種群的初始值。引入小生境協同進化策略的初始化方法比傳統的初始化方法更易于尋到最優染色體。

  3.2 Hadamard門變異操作

  在量子遺傳算法的進化過程中,量子染色體在量子旋轉門調整策略的作用下向某一確定的方向發生坍縮。如果算法在進化過程中沒有加入變異操作,當量子位出現收斂狀態時,測量值就會固定于0或1,很難再跳出,算法易出現過早熟問題。量子非門的變異操作實際上就是將當前選中的量子比特的疊加狀態進行更改,使量子比特的狀態原來傾向于狀態“1”的改變成傾向于狀態“0”,或者相反。通過這種變異方法來增加量子染色體的多樣性,提高局部搜索能力,避免出現早熟現象。

  本文在量子變異操作過程中改變了變異方法,引入了Hadamard門執行變異操作,實現方法如下:

  (7)

  其中,Hadamard門的變異角度,、分別表示第個染色體的第位。以往的量子變異操作常采用量子非門的方法實現,就是將用角度編碼的量子位的兩個基因位角度幅值旋轉。假設某一基因位角度為,則旋轉后的角度為,角度正向旋轉了。事實上,個體在經過量子旋轉門更新之后,其子代個體有可能已經非常的接近最優解,如果在這種情況下再采取量子非門執行變異,就會使量子比特原本傾向于狀態“0”的變為傾向于狀態“”,這樣造成量子位的更新向著完全相反的方向進行,極有可能造成種群震蕩,導致優秀信息的丟失。

  因此,在本文中的量子遺傳算法,在進化的過程中采用Hadamard門執行變異操作。首先設定一定的變異概率,然后根據變異概率選擇染色體和基因位,利用Hadamard門變異操作對染色體施加輕微的波動,這樣可以有效地使種群跳出當前最優解,增加種群的多樣性,進行多方向的搜索,同時也保持了種群的穩定性,保證了子代種群中的優秀信息不會丟失。

  由圖1可以看出,利用Hadamard門變異操作的QGA的收斂速度和尋優能力都明顯的優于量子非門變異的QGA。

  圖1量子非門和Hadamard門變異操作的比較

  Fig.1 Comparison of quantum gate and Hadamard gate mutation

  3.3 算法流程

  (1)種群初始化,首先確定種群大小,量子染色體的長度,變異概率為,利用小生境協同進化策略將種群空間劃分為若干段相同概率的量子染色體,如公式(6),以此減少種群進化的迭代次數,設進化代數;

  (2)測量,根據種群的概率幅取值構建其觀測態;

  (3)評估和保存,對觀測態中的每個個體用適應度函數進行評估,記錄下最優結果,判斷是否滿足終止條件,若滿足,則終止算法,否則執行下一步;

  (4)更新,更新種群,根據公式(4)動態調整量子旋轉角度策略計算出量子旋轉門的旋轉角;

  (5)執行Hadamard門變異操作;

  (6),回到(2)繼續尋優,直到算法結束。

  4 算法的性能分析

  4.1 算法收斂性分析

  定理3.1 設為一階可歸約矩陣:

  其中,是一個的基本隨機矩陣,而且,則

  是一穩定隨機矩陣,且與初始分布無關,并且存在:

  定理3.2 量子遺傳算法是全局收斂的。

  在量子遺傳算法中,假設種群規模為,染色體長度為,因為在種群初始化時的取值是連續的,所以狀態空間在理論上是無限的,但在實際運算中的取值是有限精度,所以設狀態空間維數為,則種群所在狀態空間大小為。

  算法的整個過程可表示為:

  其中,、、分別為,,階隨機矩陣,由交叉選擇算子的含義可知:

  其中,是量子染色體維的分布概率向量;、均為普通染色體維的分布概率向量;為維的概率轉移矩陣;,,均為維的隨機矩陣;,,,為階的塊對角矩陣。

  由此可知算法的狀態轉移矩陣為:

  根據定理3.1知:存在,且

  與初始分布向量的初值無關。

  假設記狀態處于時刻算法的概率為,記適應度最高的個體的所有狀態的集合為,則

  從而得到

  即算法是收斂的。

  4.2 實驗分析

  對本文的算法的性能和有效性的驗證,本文選取了以下幾個經典連續函數[8,9],并將傳統遺傳算法和一般的量子遺傳算與本文算法進行對照比較。

  實驗環境:Inter(R) Core(TM) i5 CPU M 480@2.67GHz,操作系統為Windows7,硬盤位320G,算法在MATLAB 2014a開發環境下運行。

  ① Schaffer函數

  ② De Jong函數

  ③ sphere函數

  ④ Goldstein-Price函數

  其中,在定義域內函數只有一個全局最小值;函數是一個很難收斂的單峰病態函數,在定義域內有一個極小值;定義域范圍內函數只有一個極小值;函數在定義域內只有一個全局最小值。

  本文用MATLAB對算法進行實現,設置傳統GA種群大小popsize=20,交叉概率,變異概率;其中,傳統QGA和本文的HQGA中的種群大小popsize=30,變異概率,最大遺傳代數為200,其中設置子種群個數popnumber=10,每個子種群大小subpopsize=6。對連續函數分別用傳統GA、QGA和本文的HQGA進行優化,并且分別運算100次,隨機選取任意一次的運行結果,比較說明本文的基于Hadamard門變異的量子遺傳算法具有更好的收斂性,尋優速度和局部搜索能力。得到如圖2、3、4、5的目標函數變化曲線圖。

  圖2 函數Schaffer的收斂曲線

  Fig.2 Convergence curve of function Schaffer

  圖3 函數De Jong的收斂曲線

  Fig.3 Convergence curve of function De Jong

  圖4 函數Sphere的收斂曲線

  Fig.4 Convergence curve of function Sphere

  圖5 函數Goldstein-price的收斂曲線

  Fig.5 Convergence curve of function Goldstein-price

  根據算法運行時得出的算法的最優值、平均值、平均計算時間和平均終止代數等方面對算法的優化效率和算法質量進行驗證,如表(1)。

  根據表(1)中的數據可以看出,經過Hadamard門變異操作的量子遺傳算法在求取最優解的精度上有很明顯的優勢,從圖2到圖5的收斂曲線圖也可以看出改進的量子遺傳算法的收斂速度更快,并且在迭代次數上,除了函數2也都有明顯的減少更早的收斂到全局最優停止迭代。但是在運行時間上與遺傳算法和量子遺傳算法相比有所增加,主要是因為改進的量子遺傳算法在初始化中引入了小生境協同進化策略進行種群的劃分,并且還加入了Hadamard門的變異操作,所以本文的改進算法適用于對運行時間要求不高,但對求解精度要求高的場合。總體來說,本文提出的基于Hadamard門的量子遺傳算法在函數優化上,具有更快的收斂速度和更好的全局搜索尋優能力。

  表1 算法對比數據

  Tab. 1 Algorithm comparison data

  5

  本文根據傳統的量子遺傳算法提出了一種基于Hadamard門變異的量子遺傳算法,它不但融合了量子計算和遺傳算法的優點,還利用小生境協同進化策略和Hadamard門變異操作增加種群的多樣性,并且在更新過程中采用了動態調整量子旋轉門策略,加快收斂速度,避免了在變異操作過程中造成種群震蕩,丟失優秀信息的可能,同時也避免了在更新過程中出現的過早成熟的現象。通過算法性能分析結果表明,本文提出的方法在收斂速度和全局尋優能力等方面與傳統經典算法相比有較好的效果,而且進一步提高了算法的性能。

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